Analysis Beispiele

$\int \frac{3}{\sqrt{x^{5}}} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{x^{5}}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{5}}$ als $x^{\frac{5}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} d x$

Schritt 2.2

Bringe $x^{\frac{5}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 \int {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d x$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{- 5}{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \int x^{- \frac{5}{2}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$3 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$3 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3} + C)$

Schritt 4.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$3 (- \frac{2 \cdot x^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

Schritt 4.1.3

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C)$

Schritt 4.2

Vereinfache.

$3 (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}) + C$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 6}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 4.3.4

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 4.3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{\frac{3}{2}})} + C$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 4.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{x^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + C$