Analysis Beispiele

$\int x (\sqrt{x} + \frac{2}{x^{3}}) d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int x \sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int x^{- 2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 (- x^{- 1} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (- x^{- 1}) + C$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{- 1} + C$