Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{3 x^{5} - 2 x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{3 x^{5} - 2 x}$ als ${(3 x^{5} - 2 x)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{5} - 2 x)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 3 x^{5} - 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{5} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{5} - 2 x$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{5} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2 \cdot 1)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}} (15 x^{4} - 2)$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}} (15 x^{4} - 2)$ um.

$- (15 x^{4} - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (15 x^{4}) - - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$(- 15 x^{4} - - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{5} - 2 x$ heraus.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{5}$ heraus.

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4}) - 2 x)}^{2}}$

Schritt 4.6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4}) + x \cdot - 2)}^{2}}$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{4}) + x \cdot - 2$ heraus.

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4} - 2))}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Wende die Produktregel auf $x (3 x^{4} - 2)$ an.

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 15 x^{4} + 2$ mit $\frac{1}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 15 x^{4} + 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 15 x^{4}$ heraus.

$\frac{- (15 x^{4}) + 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 4.9

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{- (15 x^{4}) - 1 (- 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (15 x^{4}) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{- (15 x^{4} - 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 4.11

Schreibe $- (15 x^{4} - 2)$ als $- 1 (15 x^{4} - 2)$ um.

$\frac{- 1 (15 x^{4} - 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15 x^{4} - 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$