Analysis Beispiele

$\int (\frac{x^{3} + \sqrt{x}}{x^{5}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{x^{3} + \sqrt{x}}{x^{5}} d x$

Schritt 2

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{3} + \sqrt{x}) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + \sqrt{x}) x^{5 \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\int (x^{3} + \sqrt{x}) x^{- 5} d x$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int (x^{3} + x^{\frac{1}{2}}) x^{- 5} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{3} x^{- 5} + x^{\frac{1}{2}} x^{- 5} d x$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{3 - 5} + x^{\frac{1}{2}} x^{- 5} d x$

Schritt 5.3

Subtrahiere $5$ von $3$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2}} x^{- 5} d x$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2} - 5} d x$

Schritt 5.5

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Schritt 5.6

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 5.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1 - 5 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 5.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.8.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1 - 10}{2}} d x$

Schritt 5.8.2

Subtrahiere $10$ von $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{- 9}{2}} d x$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int x^{- 2} + x^{- \frac{9}{2}} d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- \frac{9}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int x^{- \frac{9}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{9}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{7} x^{- \frac{7}{2}}$ .

$- x^{- 1} + C - \frac{2}{7} x^{- \frac{7}{2}} + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$- \frac{1}{x} - \frac{2}{7} x^{- \frac{7}{2}} + C$