Analysis Beispiele

$\int (10^{20 t} - e^{20 t}) d t$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 10^{20 t} - e^{20 t} d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 10^{20 t} d t + \int - e^{20 t} d t$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 20 t$ . Dann ist $d u_{1} = 20 d t$ , folglich $\frac{1}{20} d u_{1} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = 20 t$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $20 t$ .

$\frac{d}{d t} [20 t]$

Schritt 3.1.2

Da $20$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $20 t$ nach $t$ gleich $20 \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$20 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$20$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int 10^{u_{1}} \cdot \frac{1}{20} d u_{1} + \int - e^{20 t} d t$

Schritt 4

Kombiniere $10^{u_{1}}$ und $\frac{1}{20}$ .

$\int \frac{10^{u_{1}}}{20} d u_{1} + \int - e^{20 t} d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{20}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{20}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{20} \int 10^{u_{1}} d u_{1} + \int - e^{20 t} d t$

Schritt 6

Das Integral von $10^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) + \int - e^{20 t} d t$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \int e^{20 t} d t$

Schritt 8

Sei $u_{2} = 20 t$ . Dann ist $d u_{2} = 20 d t$ , folglich $\frac{1}{20} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = 20 t$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $20 t$ .

$\frac{d}{d t} [20 t]$

Schritt 8.1.2

Da $20$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $20 t$ nach $t$ gleich $20 \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$20 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$20$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \int e^{u_{2}} \frac{1}{20} d u_{2}$

Schritt 9

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{20}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \int \frac{e^{u_{2}}}{20} d u_{2}$

Schritt 10

Da $\frac{1}{20}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{20}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - (\frac{1}{20} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 11

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \frac{1}{20} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$\frac{1 \cdot 10^{u_{1}}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{u_{2}} + C$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $10^{u_{1}}$ mit $1$ .

$\frac{10^{u_{1}}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{u_{2}} + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $20 t$ .

$\frac{10^{20 t}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{u_{2}} + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $20 t$ .

$\frac{10^{20 t}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{20 t} + C$

Schritt 14

Kombiniere $e^{20 t}$ und $\frac{1}{20}$ .

$\frac{10^{20 t}}{20 \ln (10)} - \frac{e^{20 t}}{20} + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{20 \ln (10)} \cdot 10^{20 t} - \frac{1}{20} e^{20 t} + C$