Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.4.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 1.4.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.4.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Schritt 1.4.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x - 2 \ln (x) x$ heraus.

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Schritt 1.4.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Schritt 1.4.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Schritt 1.4.4.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 2 \ln (x) x$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Schritt 1.4.4.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ heraus.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Schritt 1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Schritt 1.6

Vereinfache $- 2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \ln (x^{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x^{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.4.2.2.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x (2 x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x \cdot x - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 2.10

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 2.10.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.10.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 2.10.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Schritt 2.10.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Schritt 2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.11.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 \cdot 1 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Schritt 2.12.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.12.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Schritt 2.12.2.1.2

Multipliziere $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

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Schritt 2.12.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + 3 \ln (x^{2})}{x^{4}}$

Schritt 2.12.2.1.2.2

Vereinfache $3 \ln (x^{2})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{x^{4}}$

Schritt 2.12.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 2.12.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{x^{4}}$

Schritt 2.12.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Schritt 2.12.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Schritt 2.12.3

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Schritt 2.12.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (x^{6})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Schritt 2.12.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - 1 (- \ln (x^{6}))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 - \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Schritt 2.12.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{5 - \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1.4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 4.1.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.1.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.1.4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.1.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.1.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.1.4.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 4.1.4.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1.4.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Schritt 4.1.4.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x - 2 \ln (x) x$ heraus.

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Schritt 4.1.4.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Schritt 4.1.4.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Schritt 4.1.4.4.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 2 \ln (x) x$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Schritt 4.1.4.4.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ heraus.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Schritt 4.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 4.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 4.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache $- 2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 - \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (x^{2}) = - 1$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x^{2}) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x^{2}) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x^{2})$ durch $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 1$

Schritt 5.3.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{1}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $\ln (x^{2}) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2}$

Schritt 5.3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} = e^{1}$ um.

$x^{2} = e$

Schritt 5.3.5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{e^{1}}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache.

$x = \pm \sqrt{e}$

Schritt 5.3.5.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.3.5.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{e}$

Schritt 5.3.5.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{e}$

Schritt 5.3.5.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{e}, - \sqrt{e}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6.3

Setze das Argument in $\ln (x^{2})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} \leq 0$

Schritt 6.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.2.1

Vereinfache $\sqrt{0}$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.4.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 0 |$

Schritt 6.4.2.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$| x | \leq 0$

Schritt 6.4.3

Schreibe $| x | \leq 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 6.4.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 6.4.3.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 0$

Schritt 6.4.3.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 6.4.3.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 0$

Schritt 6.4.3.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 6.4.4

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 0$ und $x \geq 0$ .

$x = 0$

Schritt 6.4.5

Löse $- x \leq 0$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 6.4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.5.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.4.5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.5.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.4.5.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.4.5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.5.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x \geq 0$

Schritt 6.4.5.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 0$ und $x < 0$ .

Keine Lösung

Schritt 6.4.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \sqrt{e}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \sqrt{e}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{5 - \ln ({(\sqrt{e})}^{6})}{{(\sqrt{e})}^{4}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Schreibe ${\sqrt{e}}^{6}$ als $e^{3}$ um.

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Schritt 9.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{e}$ als $e^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{5 - \ln ({(e^{\frac{1}{2}})}^{6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Schritt 9.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{1}{2} \cdot 6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Schritt 9.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{6}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Schritt 9.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 9.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Schritt 9.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Schritt 9.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Schritt 9.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{3}{1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Schritt 9.1.1.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{3})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Schritt 9.1.2

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $3$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$- \frac{5 - (3 \ln (e))}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Schritt 9.1.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- \frac{5 - (3 \cdot 1)}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{5 - 1 \cdot 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{5 - 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Schritt 9.1.6

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Schritt 9.2

Schreibe ${\sqrt{e}}^{4}$ als $e^{2}$ um.

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Schritt 9.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{e}$ als $e^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{2}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Schritt 9.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{2} \cdot 4}}$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{4}{2}}}$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 9.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 9.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

Schritt 9.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

Schritt 9.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{e^{\frac{2}{1}}}$

Schritt 9.2.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Schritt 10

$x = \sqrt{e}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \sqrt{e}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \sqrt{e}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{e}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(\sqrt{e})}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Schreibe ${\sqrt{e}}^{2}$ als $e$ um.

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Schritt 11.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{e}$ als $e^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Schritt 11.2.1.5

Vereinfache.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$ .

$y = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$ .

$(\sqrt{e}, \frac{\ln (\sqrt{e})}{e})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13