Analysis Beispiele

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 4

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sin^{3} (t) d t$

Schritt 6

Faktorisiere $\sin^{2} (t)$ aus.

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Schritt 7

Schreibe $\sin^{2} (t)$ in $1 - \cos^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Schritt 8

Sei $u = \cos (t)$ . Dann ist $d u = - \sin (t) d t$ , folglich $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = \cos (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Schritt 8.1.2

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - 1 + u^{2} d u$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 12

Vereinfache.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u$ durch $\cos (t)$ .

$- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (x)$ .

$- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$