Analysis Beispiele

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Diese Ableitung konnte mithilfe der Quotientenregel nicht vervollständigt werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$ is eine Stammfunktion von $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ , folglich ist per Definition $\frac{d}{d x} [\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x]$ gleich $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

Schritt 3.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 3.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \cos^{2} (x)$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.7.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 3.7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 3.7.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $\frac{1}{\sin (x)}$ und $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 3.7.3

Multipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 3.7.3.1

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.7.3.2

Multipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.3.2.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 3.7.3.2.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.7.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin (x)}$

Schritt 3.7.3.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.8.2

Separiere Brüche.

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.8.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.8.4

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.8.5

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{3} (x)$ heraus.

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.8.6

Separiere Brüche.

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 3.8.7

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cot (x)$

Schritt 3.8.8

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \cos^{2} (x) \cot (x)$