Analysis Beispiele

$\int \frac{12 x^{2}}{2 x + 1} d x$

Schritt 1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int \frac{x^{2}}{2 x + 1} d x$

Schritt 2

Dividiere $x^{2}$ durch $2 x + 1$ .

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Schritt 2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$

Schritt 2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + \frac{x}{2}$

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$

Schritt 2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$

Schritt 2.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$

Schritt 2.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- \frac{x}{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$

Schritt 2.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$

Schritt 2.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{4}$

Schritt 2.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

Schritt 2.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$12 \int \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$12 (\int \frac{x}{2} d x + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Schritt 7.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Schritt 9

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 9.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 9.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 9.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 9.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Schritt 10.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 13

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| u |)}{8}) + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Um $\frac{x^{2}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Schritt 16.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 16.2.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Schritt 16.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Schritt 16.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Schritt 16.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Schritt 16.5

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (- \frac{x}{4}) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 16.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 16.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{4}$ in den Zähler.

$12 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 16.6.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$4 (3) \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 16.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 3 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 16.6.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (- x) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 16.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 16.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 16.8.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- 3 x + 4 (3) \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Schritt 16.8.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 16.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 16.8.4

Forme den Ausdruck um.

$- 3 x + 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Schritt 16.9

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

$- 3 x + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 16.10

Um $- 3 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 3 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 16.11

Kombiniere $- 3 x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 x \cdot 2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 16.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 16.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.13.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ heraus.

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Schritt 16.13.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x \cdot 2$ heraus.

$\frac{3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 16.13.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ heraus.

$\frac{3 (- x \cdot 2 + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 16.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (- 2 x + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 16.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x) + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 16.15

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x) - (- 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 16.16

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (- 2 x^{2})$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 16.17

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (| 2 x + 1 |)$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Schritt 16.18

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |))$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Schritt 16.19

Schreibe $- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ als $- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ um.

$\frac{3 (- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Schritt 16.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$- \frac{3}{2} (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$