Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} x + \cos (x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Schritt 3

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ und $\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)$ bei $\frac{π}{2}$ und $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 4.3.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{2}$ an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.4.2

Kombinieren.

$\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $1$ .

$\frac{π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.4.4

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 4.4.4.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.4.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{π^{2}}{2^{1 + 2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.4.4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.4.5

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{6}$ an.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.4.6

Kombinieren.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 6^{2}} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.4.7

Mutltipliziere $π^{2}$ mit $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 6^{2}} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.4.8

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 36} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{72} + \frac{1}{2})$

Schritt 4.4.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - \frac{π^{2}}{72} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.11

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{π^{2}}{8} + 1 - \frac{π^{2}}{72} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.12

Um $\frac{π^{2}}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $72$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.4.13.1

Mutltipliziere $\frac{π^{2}}{8}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.13.2

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.15

Subtrahiere $π^{2}$ von $π^{2} \cdot 9$ .

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Schritt 4.4.15.1

Stelle $π^{2}$ und $9$ um.

$\frac{9 \cdot π^{2} - π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.15.2

Subtrahiere $π^{2}$ von $9 \cdot π^{2}$ .

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.16

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.4.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{2 - 1}{2}$

Schritt 4.4.18

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{1}{2}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $72$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $8$ aus $8 \cdot π^{2}$ heraus.

$\frac{8 (π^{2})}{72} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $8$ aus $72$ heraus.

$\frac{8 π^{2}}{8 \cdot 9} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 π^{2}}{8 \cdot 9} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π^{2}}{9} + \frac{1}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π^{2}}{9} + \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$1.59662271 \dots$