Analysis Beispiele

$\frac{d}{d x} (4^{x^{2}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 4^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $4$ .

$4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$4^{x^{2}} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4^{x^{2}} \ln (4) (2 x)$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \cdot {(2^{2})}^{x^{2}} \ln (4) x$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 x^{2}} \ln (4) x$

Schritt 3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{1 + 2 x^{2}} \ln (4) x$

Schritt 4

Stelle die Faktoren von $2^{1 + 2 x^{2}} \ln (4) x$ um.

$2^{1 + 2 x^{2}} x \ln (4)$