Analysis Beispiele

$\frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ als ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 7.2

Kombiniere ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 7.3

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$