Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} \frac{x}{1 - x} d x$

Schritt 1

Stelle $1$ und $- x$ um.

$\int_{0}^{2} \frac{x}{- x + 1} d x$

Schritt 2

Dividiere $x$ durch $- x + 1$ .

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Schritt 2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Schritt 2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Schritt 2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Schritt 2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int_{0}^{2} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$- x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

Schritt 5

Sei $u = - x + 1$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = - x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 5.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x + 1$ ein.

$u_{lower} = - 0 + 1$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 5.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x + 1$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 2 + 1$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$u_{upper} = - 2 + 1$

Schritt 5.5.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} - \frac{1}{u} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- x]_{0}^{2} - \int_{1}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $- x$ bei $2$ und $0$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

Schritt 9.2

Berechne $\ln (| u |)$ bei $- 1$ und $1$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.3.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$- 2 - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 - \ln (\frac{| - 1 |}{| 1 |})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{| 1 |})$

Schritt 11.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{1})$

Schritt 11.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$- 2 - \ln (1)$

Schritt 11.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- 2 - 0$

Schritt 11.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 2 + 0$

Schritt 11.6

Addiere $- 2$ und $0$ .

$- 2$

Schritt 12