Analysis Beispiele

$2 x (1 + 3 x^{3})$

Schritt 1

Schreibe $2 x (1 + 3 x^{3})$ als Funktion.

$f (x) = 2 x (1 + 3 x^{3})$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 x (1 + 3 x^{3}) d x$

Schritt 4

Multipliziere $2 x (1 + 3 x^{3})$ .

$\int 2 x \cdot 1 + 2 x (3 x^{3}) d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int 2 x + 2 x (3 x^{3}) d x$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int 2 x + 6 x \cdot x^{3} d x$

Schritt 5.3

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1

Bewege $x^{3}$ .

$\int 2 x + 6 (x^{3} x) d x$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 5.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 2 x + 6 (x^{3} x^{1}) d x$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 x + 6 x^{3 + 1} d x$

Schritt 5.3.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\int 2 x + 6 x^{4} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x d x + \int 6 x^{4} d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x d x + \int 6 x^{4} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 x^{4} d x$

Schritt 9

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int x^{4} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 11.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Schritt 11.2.4

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{5}$ .

$x^{2} + \frac{6}{5} x^{5} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 x (1 + 3 x^{3})$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{6}{5} x^{5} + C$