Analysis Beispiele

$\tan^{4} (x)$

Schritt 1

Schreibe $\tan^{4} (x)$ als Funktion.

$f (x) = \tan^{4} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \tan^{4} (x) d x$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} d x$

Schritt 4.2

Schreibe ${\tan (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x$

Schritt 5

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

$\int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Schritt 9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$x + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Schritt 10

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Schritt 11.2

Schreibe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ um.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 12

Schreibe $\sec^{2} (x)$ in $1 + \tan^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 13

Sei $u = \tan (x)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 13.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 13.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 13.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 13.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u$

Schritt 14

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u$

Schritt 15

Wende die Konstantenregel an.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u$

Schritt 16

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 17

Vereinfache.

$x - 2 \tan (x) + u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 18

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$x - 2 \tan (x) + \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Schritt 19

Addiere $- 2 \tan (x)$ und $\tan (x)$ .

$x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Schritt 20

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \tan^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$