Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 5 - 7 x$ . Dann ist $d u = - 7 d x$ , folglich $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 5 - 7 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $5 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 7 x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 7 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 4.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$0 - 7$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$- 7$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 7} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{7}) d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{4}}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$3 \int - \frac{1}{u^{4} \cdot 7} d u$

Schritt 5.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $u^{4}$ .

$3 \int - \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (- \int \frac{1}{7 u^{4}} d u)$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$- 3 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $- 3$ .

$\frac{- 3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Schritt 9.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Schritt 9.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.2.1

Bringe $u^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Schritt 9.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Schritt 9.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{- 4} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 4}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ als $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ um.

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Schritt 11.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{3}{7}) \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Schritt 11.2.4

Mutltipliziere $\frac{3}{7}$ mit $1$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Schritt 11.2.5

Mutltipliziere $\frac{3}{7}$ mit $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{3}{7 (3 u^{3})} + C$

Schritt 11.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{3}{21 u^{3}} + C$

Schritt 11.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $21$ .

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Schritt 11.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1)}{21 u^{3}} + C$

Schritt 11.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $21 u^{3}$ heraus.

$\frac{3 (1)}{3 (7 u^{3})} + C$

Schritt 11.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (7 u^{3})} + C$

Schritt 11.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{7 u^{3}} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $5 - 7 x$ .

$\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$