Analysis Beispiele

$\frac{x}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x}{\sin^{2} (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x}{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{x}{\sin^{2} (x) \cdot 1} d x$

Schritt 4.2

Separiere Brüche.

$\int \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 4.3

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ nach $\csc^{2} (x)$ um.

$\int \frac{x}{1} \csc^{2} (x) d x$

Schritt 4.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\int x \csc^{2} (x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \csc^{2} (x)$ .

$x (- \cot (x)) - \int - \cot (x) d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- \cot (x)) - - \int \cot (x) d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- \cot (x)) + 1 \int \cot (x) d x$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\int \cot (x) d x$ mit $1$ .

$x (- \cot (x)) + \int \cot (x) d x$

Schritt 8

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$

Schritt 9

Schreibe $x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$ als $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$ um.

$- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$