Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ on interval $- 2$ , $- 1$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.4.5.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.5.2.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.7.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.7.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.8.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.5.2.1.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.5.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.2.2

Addiere $- 4 x^{2} + 2 x$ und $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.2.3

Addiere $- 4 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.5.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x) + 2 x (1)$ heraus.

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 1$ und ${(x - 1)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.1.5.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.4.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.4.4

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.4.5

Faktorisiere $x - 1$ aus $2 x (- 1 (x - 1))$ heraus.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.1.5.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.5.4.6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus ${(x - 1)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.1.5.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.1.5.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.1.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.1.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 1)}^{3} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.4

Werte $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 1.4.1.2.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{((1) - 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0^{2}}$

Schritt 1.4.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0}$

Schritt 1.4.2.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{{((- 2) - 1)}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{4}{{(- 2 - 1)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$\frac{4}{{(- 3)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{4}{9}$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{((- 1) - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{{(- 1 - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, \frac{4}{9}), (- 1, \frac{1}{4})$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 2, \frac{4}{9})$

Absolutes Minimum: $(- 1, \frac{1}{4})$

Schritt 5