Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + x^{- 3}}{3 x^{- 3} + 5}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + x^{- 3}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} x^{- 3}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} x^{- 3}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{7 + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + 5}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{7 + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 3} + lim_{x \to \infty} 5}$

Schritt 6.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7 + 0}{3 lim_{x \to \infty} x^{- 3} + lim_{x \to \infty} 5}$

Schritt 7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7 + 0}{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} 5}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{7 + 0}{3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 5}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{7 + 0}{3 \cdot 0 + 5}$

Schritt 9.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.2.1

Addiere $7$ und $0$ .

$\frac{7}{3 \cdot 0 + 5}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{7}{0 + 5}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $0$ und $5$ .

$\frac{7}{5}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{7}{5}$

Dezimalform:

$1.4$