Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} - x^{3}$ , $[1, \frac{5}{2}]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 x - (3 x^{2})$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$6 x - 3 x^{2}$

Schritt 1.1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{2} + 6 x$ .

$- 3 x^{2} + 6 x$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- 3 x \cdot x + 6 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $6 x$ heraus.

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x (x) - 3 x (- 2)$ heraus.

$- 3 x (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 3 x (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $3 x^{2} - x^{3}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$3 {(0)}^{2} - {(0)}^{3}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 \cdot 0 - {(0)}^{3}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 - {(0)}^{3}$

Schritt 1.4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 0$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 1.4.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$3 {(2)}^{2} - {(2)}^{3}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 \cdot 4 - {(2)}^{3}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 - {(2)}^{3}$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$12 - 1 \cdot 8$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$12 - 8$

Schritt 1.4.2.2.2

Subtrahiere $8$ von $12$ .

$4$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (2, 4)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(2, 4)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$3 {(1)}^{2} - {(1)}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 \cdot 1 - {(1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 - {(1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 - 1$

Schritt 3.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$2$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = \frac{5}{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5}{2}$ .

$3 {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$3 \frac{5^{2}}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$3 \frac{25}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Schritt 3.2.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 (\frac{25}{4}) - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Schritt 3.2.2.1.4

Multipliziere $3 (\frac{25}{4})$ .

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{25}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 25}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$\frac{75}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$\frac{75}{4} - \frac{5^{3}}{2^{3}}$

Schritt 3.2.2.1.6

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{75}{4} - \frac{125}{2^{3}}$

Schritt 3.2.2.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{75}{4} - \frac{125}{8}$

Schritt 3.2.2.2

Um $\frac{75}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{125}{8}$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{75}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{125}{8}$

Schritt 3.2.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{75 \cdot 2}{8} - \frac{125}{8}$

Schritt 3.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{75 \cdot 2 - 125}{8}$

Schritt 3.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.5.1

Mutltipliziere $75$ mit $2$ .

$\frac{150 - 125}{8}$

Schritt 3.2.2.5.2

Subtrahiere $125$ von $150$ .

$\frac{25}{8}$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(1, 2), (\frac{5}{2}, \frac{25}{8})$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(2, 4)$

Absolutes Minimum: $(1, 2)$

Schritt 5