Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} (2 x^{3} - 6 x + \frac{3}{x^{2} + 1}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{2} 2 x^{3} - 6 x + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} 2 x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 6

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 10.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x)]_{0}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

Schritt 12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.1

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $2$ und $0$ .

$2 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

Schritt 12.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $0$ .

$2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

Schritt 12.3

Berechne $\arctan (x)$ bei $2$ und $0$ .

$2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4

Vereinfache.

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Schritt 12.4.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$2 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 12.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$2 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 (4 - \frac{0}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 12.4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$2 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.4.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$2 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (4 - \frac{0}{1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 (4 - 0) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (4 + 0) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.6

Addiere $4$ und $0$ .

$2 \cdot 4 - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 12.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.4.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.9.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$8 - 6 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$8 - 6 (2 - \frac{0}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 12.4.11.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$8 - 6 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.4.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$8 - 6 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - 6 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 - 6 (2 - \frac{0}{1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$8 - 6 (2 - 0) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$8 - 6 (2 + 0) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.13

Addiere $2$ und $0$ .

$8 - 6 \cdot 2 + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.14

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$8 - 12 + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Schritt 12.4.15

Subtrahiere $12$ von $8$ .

$- 4 + 3 (\arctan (2) - \arctan (0))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.1

Berechne $\arctan (2)$ .

$- 4 + 3 (1.10714871 - \arctan (0))$

Schritt 13.1.1.2

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$- 4 + 3 (1.10714871 - 0)$

Schritt 13.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 4 + 3 (1.10714871 + 0)$

Schritt 13.1.2

Addiere $1.10714871$ und $0$ .

$- 4 + 3 \cdot 1.10714871$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1.10714871$ .

$- 4 + 3.32144615$

Schritt 13.2

Addiere $- 4$ und $3.32144615$ .

$- 0.67855384$

Schritt 14