Analysis Beispiele

\int \frac{1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} d x

$\int \frac{1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Schreibe

8

$8$ um als

9

$9$ plus

- 1

$- 1$

\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 + 2 x - x^{2}}} d x

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 + 2 x - x^{2}}} d x$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe

1

$1$ als

1^{2}

$1^{2}$ um.

\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}} d x

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}} d x$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

2 x = 2 \cdot 1 \cdot x

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei

a = 1

$a = 1$ und

b = x

$b = x$ .

\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x$

\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Schritt 3

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}} d x

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Schritt 4

Sei

u = 1 - x

$u = 1 - x$ . Dann ist

d u = - d x

$d u = - d x$ , folglich

- d u = d x

$- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von

u

$u$ und

d

$d$

u

$u$ .

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Schritt 4.1

Es sei

u = 1 - x

$u = 1 - x$ . Ermittle

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

\frac{- 1}{1}

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 4.1.2

Dividiere

- 1

$- 1$ durch

1

$1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von

u

$u$ und

d u

$d u$ neu.

\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u

$\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u

$\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 5

- 1

$- 1$ konstant bezüglich

u

$u$ ist, ziehe

- 1

$- 1$ aus dem Integral.

- \int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u

$- \int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 6

Das Integral von

\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ nach

u

$u$ ist

\arcsin (\frac{u}{3})

$\arcsin (\frac{u}{3})$

- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)

$- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$

Schritt 7

Schreibe

- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)

$- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$ als

- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C

$- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ um.

- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C

$- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle

u

$u$ durch

1 - x

$1 - x$ .

- \arcsin (\frac{1}{3} (1 - x)) + C

$- \arcsin (\frac{1}{3} (1 - x)) + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

- \arcsin (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- x)) + C

$- \arcsin (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Schritt 9.2

Mutltipliziere

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ mit

1

$1$ .

- \arcsin (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- x)) + C

$- \arcsin (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Schritt 9.3

Kombiniere

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ und

x

$x$ .

- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C$

- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} x) + C

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} x) + C$