Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Schreibe $8$ um als $9$ plus $- 1$

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 + 2 x - x^{2}}} d x$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}} d x$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Schritt 3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 4.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (\frac{u}{3})$

$- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$

Schritt 7

Schreibe $- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$ als $- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ um.

$- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} (1 - x)) + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \arcsin (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Schritt 9.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} x) + C$