Analysis Beispiele

$\frac{- 15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}]$

Schritt 1.2

Da $- \frac{15}{16}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}]$ .

$- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}]$

Schritt 1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ als ${({(x + 1)}^{\frac{7}{2}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{7}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{7}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{7}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 1.3.2.2

Multipliziere $\frac{7}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{7 \cdot - 1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 7}{2}}]$

Schritt 1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{16} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{7}{2}}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$- \frac{15}{16} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{7}{2}$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} u^{- \frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{- \frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{- \frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{- \frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $- 7$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 9}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2} {(x + 1)}^{- \frac{9}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 7.2

Kombiniere ${(x + 1)}^{- \frac{9}{2}}$ und $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{9}{2}} \cdot 7}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.1

Bringe $7$ auf die linke Seite von ${(x + 1)}^{- \frac{9}{2}}$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{9}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 7.3.2

Bringe ${(x + 1)}^{- \frac{9}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{15}{16} (- \frac{7}{2 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{15}{16}) (\frac{7}{2 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $\frac{15}{16}$ mit $1$ .

$\frac{15}{16} (\frac{7}{2 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\frac{7}{2 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}}$ mit $\frac{15}{16}$ .

$\frac{7 \cdot 15}{2 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}} \cdot 16} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 7.5

Multipliziere.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $15$ .

$\frac{105}{2 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}} \cdot 16} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} (1 + 0)$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}} \cdot 1$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{105}{32 {(x + 1)}^{\frac{9}{2}}}$