Analysis Beispiele

$\frac{2}{4 x - 3}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{2}{4 x - 3}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2}{4 x - 3}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2}{4 x - 3} d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{4 x - 3} d x$

Schritt 5

Sei $u = 4 x - 3$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 4 x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $4 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Schritt 6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int \frac{1}{4 u} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 x - 3 |) + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2}{4 x - 3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (| 4 x - 3 |) + C$