Analysis Beispiele

$2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Schritt 1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 \arctan (\frac{t}{2})$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \arctan (t)$ und $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Schritt 2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t}{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{(1 + {(\frac{t}{2})}^{2}) \cdot 2}$

Schritt 2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + {(\frac{t}{2})}^{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Schritt 2.8

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$ .

$0 + \frac{5}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{t}{2}$ an.

$0 + \frac{5}{2 (1 + \frac{t^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$0 + \frac{5}{2 \cdot 1 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{4}}$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{t^{2}}{4}$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{4}}$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{2}$ heraus.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 (t^{2})}{4}}$

Schritt 3.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $0$ und $\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$ .

$\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 4}{2}}$

Schritt 3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$5 \frac{2}{t^{2} + 4}$

Schritt 3.7

Multipliziere $5 \frac{2}{t^{2} + 4}$ .

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Schritt 3.7.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{t^{2} + 4}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10}{t^{2} + 4}$