Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + x - 4 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2} + 2 x^{4}}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2} = \sqrt{x^{4}}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Schritt 5.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + lim_{x \to \infty} 2}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0 + 0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Schritt 8.2.1.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Schritt 8.2.1.4

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 2}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 8.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.2.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 8.2.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 8.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.2.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.2.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.2.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.2.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 8.2.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 8.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 8.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 8.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Schritt 8.2.6.2.4

Dividiere $2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- (2 \sqrt{2})$

Schritt 8.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sqrt{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$- 2.82842712 \dots$