Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 2 x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} - lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}{1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

Schritt 8.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1^{2} - 1 - 1 \cdot 2}{1^{2} - 2 \cdot 1}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 - 1 \cdot 2}{1^{2} - 2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - 1 - 2}{1^{2} - 2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 - 2}{1^{2} - 2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{- 2}{1^{2} - 2 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 2}{1 - 2 \cdot 1}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{- 2}{1 - 2}$

Schritt 9.2.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 2}{- 1}$

Schritt 9.3

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$2$