Analysis Beispiele

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 8.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (4 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 11.2

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 11.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 11.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 \int x^{- 2} d x$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 4 (- x^{- 1} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

$\frac{- 1}{x^{2}} - 4 (- x^{- 1}) + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

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Schritt 13.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{2}} - 4 (- x^{- 1}) + C$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 1} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 1} + C$