Analysis Beispiele

$\int (\sin^{3} (x)) (\cos (x)) d x$

Schritt 1

Multipliziere $\sin^{3} (x)$ mit $\cos (x)$ .

$\int \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{3} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$