Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x}{- 3 x^{2}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{- 3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x}{x^{2}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 \cdot 1 - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.3.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{1}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - \frac{1}{x}}{1}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} - 1 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{- lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{- 1 - 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{- 1 - 0}{1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 - 0}{1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $- 1 - 0$ durch $1$ .

$- \frac{1}{3} (- 1 - 0)$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $0$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$

Schritt 5.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3})$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{3}$