Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\int \frac{2 (x) + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int \frac{2 (x) + 2 (1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 6 x}} d x$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $6 x$ heraus.

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 3 x (2)}} d x$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (2)$ heraus.

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{x + 1}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Schritt 3

Sei $u = 3 x (x + 2)$ . Dann ist $d u = (6 x + 6) d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = (x + 1) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 3 x (x + 2)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $3 x (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x + 2)]$

Schritt 3.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x (x + 2)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 2$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.1.4

Differenziere.

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Schritt 3.1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.1.4.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$3 (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.1.4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$3 (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.1.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x + (x + 2) \cdot 1)$

Schritt 3.1.4.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1.4.6.1

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$3 (x + x + 2)$

Schritt 3.1.4.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$3 (2 x + 2)$

Schritt 3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

Schritt 3.1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.1.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + 3 \cdot 2$

Schritt 3.1.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x + 6$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

Schritt 4.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 6.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 6.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 6.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 6.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 6.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 6.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 6.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 6.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $3 x (x + 2)$ .

$\frac{2}{3} {(3 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}} + C$