Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) e^{x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2} - 1$ und $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} (2 x) d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x)$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Schritt 5

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $(x^{2} - 1) e^{x}$ bei $1$ und $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Schritt 6.2

Berechne $x e^{x}$ bei $1$ und $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Schritt 6.3

Berechne $e^{x}$ bei $1$ und $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(1 - 1) e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.3

Vereinfache.

$0 e - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.4

Mutltipliziere $0$ mit $e$ .

$0 - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - (0 - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.6

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$0 - - 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0 + 1 \cdot 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.9

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$0 + 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.10

Addiere $0$ und $1$ .

$1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.11

Vereinfache.

$1 - 2 (1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.12

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$1 - 2 (e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.13

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 - 2 (e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.14

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$1 - 2 (e + 0 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.15

Addiere $e$ und $0$ .

$1 - 2 (e - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 6.4.16

Vereinfache.

$1 - 2 (e - (e - e^{0}))$

Schritt 6.4.17

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 - 2 (e - (e - 1 \cdot 1))$

Schritt 6.4.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - 2 (e - (e - 1))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - 2 (e - e - - 1)$

Schritt 7.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - 2 (e - e + 1)$

Schritt 7.1.2

Subtrahiere $e$ von $e$ .

$1 - 2 (0 + 1)$

Schritt 7.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$1 - 2 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$1 - 2$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1$

Schritt 8