Analysis Beispiele

$\int_{5}^{\sqrt{x}} f (t) d t = x^{2}$

Schritt 1

Da $f$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $f$ aus dem Integral.

$f \int_{5}^{\sqrt{x}} t d t$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$f \frac{1}{2} t^{2}]_{5}^{\sqrt{x}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$f \frac{t^{2}}{2}]_{5}^{\sqrt{x}}$

Schritt 3.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Berechne $\frac{t^{2}}{2}$ bei $\sqrt{x}$ und $5$ .

$f ((\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{2}) - \frac{5^{2}}{2})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 3.2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Schritt 3.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{1}}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Schritt 3.2.2.1.5

Vereinfache.

$f (\frac{x}{2} - \frac{5^{2}}{2})$

Schritt 3.2.2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{25}{2})$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$f (\frac{1}{2} x - \frac{25}{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{25}{2})$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f \frac{x}{2} + f (- \frac{25}{2})$

Schritt 4.3

Kombiniere $f$ und $\frac{x}{2}$ .

$\frac{f x}{2} + f (- \frac{25}{2})$

Schritt 4.4

Kombiniere $f$ und $\frac{25}{2}$ .

$\frac{f x}{2} - \frac{f \cdot 25}{2}$

Schritt 4.5

Bringe $25$ auf die linke Seite von $f$ .

$\frac{f x}{2} - \frac{25 f}{2}$