Analysis Beispiele

$x \cdot \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $x \cdot \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = x \cdot \ln (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \cdot \ln (x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Schritt 7.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 7.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 7.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Schritt 7.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Schreibe $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $\frac{\ln (x)}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 9.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 9.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \cdot \ln (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$