Analysis Beispiele

$\int \frac{3 x^{3} - 3 x + 4}{4 x^{2} - 4} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Dividiere unter Verwendung schriftlicher Polynomdivision.

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Schritt 1.1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

Schritt 1.1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4 x^{2}$ .

$\frac{3 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

Schritt 1.1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$\frac{3 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$3 x^{3}$

$0$

$3 x$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} + 0 - 3 x$

$\frac{3 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$3 x^{3}$

$0$

$3 x$

Schritt 1.1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$\frac{3 x}{4}$
$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x^{3}$	-	$0$	+	$3 x$
										$0$

Schritt 1.1.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

						$\frac{3 x}{4}$
$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$4$		$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x^{3}$	-	$0$	+	$3 x$
										$0$	+	$4$

Schritt 1.1.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{3 x}{4} + \frac{4}{4 x^{2} - 4}$

Schritt 1.2

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 4$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{4}{4 (x^{2}) - 4}$

Schritt 1.2.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4}{4 (x^{2}) + 4 (- 1)}$

Schritt 1.2.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{4}{4 (x^{2} - 1)}$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{4}{4 (x^{2} - 1^{2})}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{4}{4 ((x + 1) (x - 1))}$

Schritt 1.2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{4}{4 (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4}{4 (x + 1) (x - 1)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4 (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.2.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Schritt 1.2.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 1.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.2.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Dividiere $(A) (x - 1)$ durch $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.2.7.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.2.7.4

Schreibe $- 1 A$ als $- A$ um.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.2.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 1.2.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.2.7.5.2

Dividiere $(B) (x + 1)$ durch $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Schritt 1.2.7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Schritt 1.2.7.7

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Schritt 1.2.8

Bewege $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Schritt 1.3

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.3.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 1.3.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = - 1 A + B$

Schritt 1.3.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 1.4

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.4.1

Löse in $0 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.4.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 0$ um.

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 1.4.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 1.4.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze alle $A$ in $1 = - 1 A + B$ durch $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache $- 1 (- B) + B$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Multipliziere $- 1 (- B)$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Schritt 1.4.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Addiere $B$ und $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Schritt 1.4.3

Löse in $1 = 2 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.4.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 B = 1$ um.

$2 B = 1$

$A = - B$

Schritt 1.4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 1.4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 1.4.3.2.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 1.4.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.4.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = - B$ durch $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 1.4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.4.2.1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 1.4.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Schritt 1.5

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{3 x}{4} + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{3 x}{4} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3 x}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} - \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 1.6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$\frac{3 x}{4} - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 1.6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3 x}{4} - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Schritt 1.6.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{3 x}{4} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 3

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} \int x d x + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 7

Sei $u_{1} = x + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{1} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 10

Sei $u_{2} = x - 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u_{2} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 10.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 10.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 10.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

$\frac{3 x^{2}}{8} - \frac{\ln (| u_{1} |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{8} - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{8} - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{8} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$