Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} (x + 1) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x + 1$ und $d v = \sqrt{x}$ .

$(x + 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Schritt 3

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 5.2

Berechne $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ bei $1$ und $0$ .

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{2 \cdot 1}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 (\frac{2}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.6

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.8

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.9

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 5.3.13.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{1}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.13.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{4}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.15

Addiere $\frac{4}{3}$ und $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.17

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.18

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5.3.19

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Schritt 5.3.20

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.20.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Schritt 5.3.20.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 5.3.21

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Schritt 5.3.22

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Schritt 5.3.23

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{5}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Schritt 5.3.24

Addiere $\frac{2}{5}$ und $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Schritt 5.3.25

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Schritt 5.3.26

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Schritt 5.3.27

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4}{15}$

Schritt 5.3.28

Um $\frac{4}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

Schritt 5.3.29

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.29.1

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

Schritt 5.3.29.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{4 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

Schritt 5.3.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cdot 5 - 4}{15}$

Schritt 5.3.31

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.31.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{20 - 4}{15}$

Schritt 5.3.31.2

Subtrahiere $4$ von $20$ .

$\frac{16}{15}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{16}{15}$

Dezimalform:

$1.0\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{15}$

Schritt 7