Analysis Beispiele

$\int x \sqrt{2 x + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x + 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{u}$ .

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{u}{2}$ mit $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.7

Addiere $2$ und $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.9

Kombiniere $- \frac{1}{2}$ und $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} d u$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.2

Schreibe $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ als $\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 10.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{1}{10} {(2 x + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{6} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$