Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y}) = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (x^{2} + y^{2}) + 2 \arctan (\frac{x}{y})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + y^{2})]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \arctan (\frac{x}{y})]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \arctan (\frac{x}{y})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{y})]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [\arctan (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {u_{3}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Schritt 2.3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}})$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 (\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \cdot \frac{y - x y'}{y^{2}})$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ mit $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + 2 \frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $2$ und $\frac{y - x y'}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + {(\frac{x}{y})}^{2}) y^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{y}$ an.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 (y - x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{(1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}) y^{2}}$

Schritt 2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y + 2 (- x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Schritt 2.4.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 (x y')}{1 y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}} y^{2}}$

Schritt 2.4.4.3

Kombiniere $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ und $y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

Schritt 2.4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 2.4.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2}}}$

Schritt 2.4.4.4.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Schritt 2.4.4.5

Um $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') \cdot \frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Schritt 2.4.4.6

Kombiniere $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ und $\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{2} + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})}{y^{2} + x^{2}} + \frac{2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Schritt 2.4.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) + 2 y - 2 x y'}{y^{2} + x^{2}}$

Schritt 2.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.1

Multipliziere $(2 x + 2 y y') (y^{2} + x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x (y^{2} + x^{2}) + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' (y^{2} + x^{2})) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.6.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.6.2.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.2.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.4.6.2.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{2 + 1} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.2.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y y' y^{2} + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.2.2

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.6.2.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.2.2.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 2.4.6.2.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 (y^{2} y^{1}) y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{2 + 1} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{(2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}) \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.3

Mutltipliziere $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ mit $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x y^{2} + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.4.6.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x y^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 x^{3} + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 y^{3} y' + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{3} y'$ heraus.

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 y y' x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 y y' x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{2 (x y^{2}) + 2 (x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x y^{2}) + 2 (x^{3})$ heraus.

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.4.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (x y^{2} + x^{3}) + 2 (y^{3} y')$ heraus.

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.4.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y') + 2 (y y' x^{2})$ heraus.

$\frac{\frac{2 (x y^{2} + x^{3} + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.4.6.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{\frac{2 ((x y^{2} + x^{3}) + y^{3} y' + y y' x^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{\frac{2 (x (y^{2} + x^{2}) + y y' (y^{2} + x^{2}))}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y^{2} + x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (y^{2} + x^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2} + x^{2}$ und $x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.4.6.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 (x^{2} + y^{2}) (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.5.3

Dividiere $2 (x + y y')$ durch $1$ .

$\frac{2 (x + y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.7

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 y y' - 2 x y' + 2 y$ heraus.

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Schritt 2.4.6.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 y y' - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.7.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y y'$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (y y') - 2 x y' + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.7.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x y'$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.7.4

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (y y')$ heraus.

$\frac{2 (x + y y') + 2 (- x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.7.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + y y') + 2 (- x y')$ heraus.

$\frac{2 (x + y y' - x y') + 2 (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.4.6.7.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + y y' - x y') + 2 (y)$ heraus.

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (x + y y' - x y' + y) = 0$

Schritt 5.2

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x + y y' - x y' + y) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + y y' - x y' + y)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Dividiere $x + y y' - x y' + y$ durch $1$ .

$x + y y' - x y' + y = \frac{0}{2}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x + y y' - x y' + y = 0$

Schritt 5.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y y' - x y' + y = - x$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y y' - x y' = - x - y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y y' - x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $y y'$ heraus.

$y' y - x y' = - x - y$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (y) + y' (- x) = - x - y$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (y) + y' (- x)$ heraus.

$y' (y - x) = - x - y$

Schritt 5.2.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (y - x) = - x - y$ durch $y - x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (y - x) = - x - y$ durch $y - x$ .

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - x$ .

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Schritt 5.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Schritt 5.2.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- x}{y - x} + \frac{- y}{y - x}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- x - y}{y - x}$

Schritt 5.2.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- (x) - y}{y - x}$

Schritt 5.2.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (x) - (y)}{y - x}$

Schritt 5.2.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{- (x + y)}{y - x}$

Schritt 5.2.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.4.3.5.1

Schreibe $- (x + y)$ als $- 1 (x + y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (x + y)}{y - x}$

Schritt 5.2.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x + y}{y - x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + y}{y - x}$