Analysis Beispiele

$\int \frac{4 t^{3} - t^{2} + 16 t}{t^{2} + 4} d t$

Schritt 1

Dividiere $4 t^{3} - t^{2} + 16 t$ durch $t^{2} + 4$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 t^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $t^{2}$ .

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 t^{3} + 0 + 16 t$

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

$t^{2}$

$0$

Schritt 1.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

						$4 t$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- t^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $t^{2}$ .

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							-	$t^{2}$	+	$0$	-	$4$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- t^{2} + 0 - 4$

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$
											+	$4$

Schritt 1.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 4 t - 1 + \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Schritt 7

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{t^{2} + 4} d t$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Stelle $t^{2}$ und $4$ um.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{4 + t^{2}} d t$

Schritt 8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{2^{2} + t^{2}} d t$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + t^{2}}$ nach $t$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{t}{2})$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$2 t^{2} - t + 4 \frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2}$ .

$2 t^{2} - t + \frac{4 \arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 10.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \arctan (\frac{t}{2})$ heraus.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2} + C$

Schritt 10.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 (1)} + C$

Schritt 10.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 10.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 t^{2} - t + \frac{2 \arctan (\frac{t}{2})}{1} + C$

Schritt 10.3.2.2.4

Dividiere $2 \arctan (\frac{t}{2})$ durch $1$ .

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{t}{2}) + C$

Schritt 10.4

Stelle die Terme um.

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{1}{2} t) + C$