Analysis Beispiele

$\arccos (x)$

Schritt 1

Schreibe $\arccos (x)$ als Funktion.

$f (x) = \arccos (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \arccos (x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \arccos (x)$ und $d v = 1$ .

$\arccos (x) x - \int x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

Schritt 5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\arccos (x) x - \int - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\arccos (x) x - - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\arccos (x) x + 1 \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ mit $1$ .

$\arccos (x) x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 8

Sei $u = 1 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = 1 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 8.1.2

Differenziere.

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Schritt 8.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 8.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 8.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 8.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 8.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 8.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 8.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\arccos (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\arccos (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\arccos (x) x + \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 9.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\arccos (x) x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\arccos (x) x - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\arccos (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 12

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 12.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 12.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 12.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 12.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 12.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 12.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 14

Schreibe $\arccos (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\arccos (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\arccos (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$\arccos (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \arccos (x)$ .

$F (x) =$ $\arccos (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$