Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$2 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - \int \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 9.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.2.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 9.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 9.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int x^{- 4} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 11.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 12

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 14

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 16

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (8 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x) + \int - 1 d x$

Schritt 17

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 17.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 17.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 17.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 17.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 17.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - 1 d x$

Schritt 17.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 17.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 1 d x$

Schritt 18

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - 1 d x$

Schritt 19

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - x + C$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Vereinfache.

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5 x^{4}}{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$

Schritt 20.2

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5}{4} x^{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$

Schritt 21

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5}{4} x^{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$