Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + x^{- 2}}{3 x^{- 2} + 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + 1}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + 1}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 6.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 + 0}{3 lim_{x \to \infty} x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 + 0}{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{5 + 0}{3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 + 0}{3 \cdot 0 + 1}$

Schritt 9.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.2.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{5}{3 \cdot 0 + 1}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{5}{0 + 1}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{5}{1}$

Schritt 9.2.3

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5$