Analysis Beispiele

$y = \frac{4}{{(x^{3} + 9)}^{5}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{{(x^{3} + 9)}^{5}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{5}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{5}}]$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{5}}$ als ${({(x^{3} + 9)}^{5})}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [{({(x^{3} + 9)}^{5})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{3} + 9)}^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 9)}^{5 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 9)}^{- 5}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 5}$ und $g (x) = x^{3} + 9$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} + 9$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 9])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 5$ .

$4 (- 5 u^{- 6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 9$ .

$4 (- 5 {(x^{3} + 9)}^{- 6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$- 20 ({(x^{3} + 9)}^{- 6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 20 {(x^{3} + 9)}^{- 6} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 20 {(x^{3} + 9)}^{- 6} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 20 {(x^{3} + 9)}^{- 6} (3 x^{2} + 0)$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$- 20 {(x^{3} + 9)}^{- 6} (3 x^{2})$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 20$ .

$- 60 {(x^{3} + 9)}^{- 6} x^{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 60 \frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{6}} x^{2}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 60$ und $\frac{1}{{(x^{3} + 9)}^{6}}$ .

$\frac{- 60}{{(x^{3} + 9)}^{6}} x^{2}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{60}{{(x^{3} + 9)}^{6}} x^{2}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{60}{{(x^{3} + 9)}^{6}}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 60}{{(x^{3} + 9)}^{6}}$

Schritt 4.2.4

Bringe $60$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- \frac{60 x^{2}}{{(x^{3} + 9)}^{6}}$