Analysis Beispiele

$x^{4} (x - 2) (x + 3)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4} (x - 2)$ und $g (x) = x + 3$ .

$x^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Schritt 1.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{4} (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x^{4} (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{4} (x - 2)]$

Schritt 1.3

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 1.4.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 1.4.4.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 1.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) (4 x^{3}))$

Schritt 1.4.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x - 2$ .

$x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + 4 \cdot (x - 2) x^{3})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 (x - 2) x^{3})$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + (4 x + 4 \cdot - 2) x^{3})$

Schritt 1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.8.1.1

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 1.5.8.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} x^{1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4 + 1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.1.2

Addiere $4$ und $1$ .

$x^{5} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$x^{5} - 2 \cdot x^{4} + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.3

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.8.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.5.8.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{1} x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{1 + 4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.3.2

Addiere $1$ und $4$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.4

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.8.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.4.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 1.5.8.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x^{1})) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{3 + 1}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 (x^{1} x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{1 + 4} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.7

Addiere $1$ und $4$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.8

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.8.8.1

Bewege $x^{3}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.8.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 1.5.8.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x^{1})) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{3 + 1}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.8.3

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{4}) + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.9

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (4 \cdot - 2 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.10

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (- 8 x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 (x^{1} x^{3}) + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{1 + 3} + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.13

Addiere $1$ und $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (4 \cdot - 2 x^{3})$

Schritt 1.5.8.14

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (- 8 x^{3})$

Schritt 1.5.8.15

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} - 24 x^{3}$

Schritt 1.5.8.16

Subtrahiere $8 x^{4}$ von $12 x^{4}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Schritt 1.5.8.17

Addiere $x^{5}$ und $4 x^{5}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Schritt 1.5.8.18

Addiere $3 x^{4}$ und $4 x^{4}$ .

$x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Schritt 1.5.8.19

Addiere $x^{5}$ und $5 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 2 x^{4} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Schritt 1.5.8.20

Addiere $- 2 x^{4}$ und $7 x^{4}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{5}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3})$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{3}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 24 (3 x^{2})$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 24$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 20 x^{3} - 72 x^{2}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$f' (x) = x^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 3) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Schritt 4.1.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x^{4} (x - 2))$

Schritt 4.1.3

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Schritt 4.1.4

Differenziere.

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Schritt 4.1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Schritt 4.1.4.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Schritt 4.1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Schritt 4.1.4.4.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Schritt 4.1.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + (x - 2) (4 x^{3}))$

Schritt 4.1.4.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x - 2$ .

$f' (x) = x^{4} (x - 2) + (x + 3) (x^{4} + 4 \cdot ((x - 2) x^{3}))$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 (x - 2) x^{3})$

Schritt 4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + (4 x + 4 \cdot - 2) x^{3})$

Schritt 4.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) (x^{4} + 4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + (x + 3) x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + (x + 3) (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + (x + 3) (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.8.1.1

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.8.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{4 + 1} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.1.2

Addiere $4$ und $1$ .

$f' (x) = x^{5} + x^{4} \cdot - 2 + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x \cdot x^{4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.3

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.8.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{1 + 4} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.3.2

Addiere $1$ und $4$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x \cdot x^{3}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.4

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.8.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.4.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.5.8.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 (x^{3} x)) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{3 + 1}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + x (4 x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 (x \cdot x^{4}) + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{1 + 4} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.7

Addiere $1$ und $4$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x \cdot x^{3}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.8

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.8.8.1

Bewege $x^{3}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.8.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 4.1.5.8.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 (x^{3} x)) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{3 + 1}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.8.3

Addiere $3$ und $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 3 (4 x^{4}) + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.9

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (4 \cdot (- 2 x^{3})) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.10

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} + x (- 8 x^{3}) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 (x \cdot x^{3}) + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{1 + 3} + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.13

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (4 \cdot (- 2 x^{3}))$

Schritt 4.1.5.8.14

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} + 3 (- 8 x^{3})$

Schritt 4.1.5.8.15

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 12 x^{4} - 8 x^{4} - 24 x^{3}$

Schritt 4.1.5.8.16

Subtrahiere $8 x^{4}$ von $12 x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{5} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Schritt 4.1.5.8.17

Addiere $x^{5}$ und $4 x^{5}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 3 x^{4} + 4 x^{4} - 24 x^{3}$

Schritt 4.1.5.8.18

Addiere $3 x^{4}$ und $4 x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} - 2 x^{4} + 5 x^{5} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Schritt 4.1.5.8.19

Addiere $x^{5}$ und $5 x^{5}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 2 x^{4} + 7 x^{4} - 24 x^{3}$

Schritt 4.1.5.8.20

Addiere $- 2 x^{4}$ und $7 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $6 x^{5}$ heraus.

$x^{3} (6 x^{2}) + 5 x^{4} - 24 x^{3} = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x) - 24 x^{3} = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 24 x^{3}$ heraus.

$x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot - 24 = 0$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (6 x^{2}) + x^{3} (5 x)$ heraus.

$x^{3} (6 x^{2} + 5 x) + x^{3} \cdot - 24 = 0$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (6 x^{2} + 5 x) + x^{3} \cdot - 24$ heraus.

$x^{3} (6 x^{2} + 5 x - 24) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$

Schritt 5.4

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 5.5

Setze $6 x^{2} + 5 x - 24$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $6 x^{2} + 5 x - 24$ gleich $0$ .

$6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $6 x^{2} + 5 x - 24 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5.2.2

Setze die Werte $a = 6$ , $b = 5$ und $c = - 24$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 24)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 6 \cdot - 24}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 6 \cdot - 24$ .

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Schritt 5.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24 \cdot - 24}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 24$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 576}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.5.2.3.1.3

Addiere $25$ und $576$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{601}}{2 \cdot 6}$

Schritt 5.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{601}}{12}$

Schritt 5.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} (6 x^{2} + 5 x - 24) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$30 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$30 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $30$ mit $0$ .

$0 + 20 {(0)}^{3} - 72 {(0)}^{2}$

Schritt 9.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 20 \cdot 0 - 72 {(0)}^{2}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $0$ .

$0 + 0 - 72 {(0)}^{2}$

Schritt 9.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 - 72 \cdot 0$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $- 72$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 9.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 9.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}) \cup (- \frac{5 + \sqrt{601}}{12}, 0) \cup (0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}) \cup (- \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 5$ , aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{5 + \sqrt{601}}{12})$ in die erste Ableitung $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f' (- 5) = 6 {(- 5)}^{5} + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $5$ .

$f' (- 5) = 6 \cdot - 3125 + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Schritt 10.2.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 3125$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 5 {(- 5)}^{4} - 24 {(- 5)}^{3}$

Schritt 10.2.2.1.3

Potenziere $- 5$ mit $4$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 5 \cdot 625 - 24 {(- 5)}^{3}$

Schritt 10.2.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $625$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 - 24 {(- 5)}^{3}$

Schritt 10.2.2.1.5

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 - 24 \cdot - 125$

Schritt 10.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 125$ .

$f' (- 5) = - 18750 + 3125 + 3000$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 10.2.2.2.1

Addiere $- 18750$ und $3125$ .

$f' (- 5) = - 15625 + 3000$

Schritt 10.2.2.2.2

Addiere $- 15625$ und $3000$ .

$f' (- 5) = - 12625$

Schritt 10.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12625$ .

$- 12625$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 1$ , aus dem Intervall $(- \frac{5 + \sqrt{601}}{12}, 0)$ in die erste Ableitung $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 6 {(- 1)}^{5} + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f' (- 1) = 6 \cdot - 1 + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Schritt 10.3.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 {(- 1)}^{4} - 24 {(- 1)}^{3}$

Schritt 10.3.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 \cdot 1 - 24 {(- 1)}^{3}$

Schritt 10.3.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 - 24 {(- 1)}^{3}$

Schritt 10.3.2.1.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 - 24 \cdot - 1$

Schritt 10.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 + 5 + 24$

Schritt 10.3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 10.3.2.2.1

Addiere $- 6$ und $5$ .

$f' (- 1) = - 1 + 24$

Schritt 10.3.2.2.2

Addiere $- 1$ und $24$ .

$f' (- 1) = 23$

Schritt 10.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $23$ .

$23$

Schritt 10.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(0, - \frac{5 - \sqrt{601}}{12})$ in die erste Ableitung $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 6 {(1)}^{5} + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Schritt 10.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Schritt 10.4.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 {(1)}^{4} - 24 {(1)}^{3}$

Schritt 10.4.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 6 + 5 \cdot 1 - 24 {(1)}^{3}$

Schritt 10.4.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 24 {(1)}^{3}$

Schritt 10.4.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 6 + 5 - 24 \cdot 1$

Schritt 10.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$f' (1) = 6 + 5 - 24$

Schritt 10.4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 10.4.2.2.1

Addiere $6$ und $5$ .

$f' (1) = 11 - 24$

Schritt 10.4.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $11$ .

$f' (1) = - 13$

Schritt 10.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 13$ .

$- 13$

Schritt 10.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(- \frac{5 - \sqrt{601}}{12}, \infty)$ in die erste Ableitung $6 x^{5} + 5 x^{4} - 24 x^{3}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Schritt 10.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.5.2.1.1

Potenziere $4$ mit $5$ .

$f' (4) = 6 \cdot 1024 + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Schritt 10.5.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $1024$ .

$f' (4) = 6144 + 5 {(4)}^{4} - 24 {(4)}^{3}$

Schritt 10.5.2.1.3

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f' (4) = 6144 + 5 \cdot 256 - 24 {(4)}^{3}$

Schritt 10.5.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $256$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 24 {(4)}^{3}$

Schritt 10.5.2.1.5

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 24 \cdot 64$

Schritt 10.5.2.1.6

Mutltipliziere $- 24$ mit $64$ .

$f' (4) = 6144 + 1280 - 1536$

Schritt 10.5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 10.5.2.2.1

Addiere $6144$ und $1280$ .

$f' (4) = 7424 - 1536$

Schritt 10.5.2.2.2

Subtrahiere $1536$ von $7424$ .

$f' (4) = 5888$

Schritt 10.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $5888$ .

$5888$

Schritt 10.6

Da die erste Ableitung um $x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ ein lokales Minimum.

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10.7

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10.8

Da die erste Ableitung um $x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ ein lokales Minimum.

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} (x - 2) (x + 3)$ .

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ ist ein lokales Minimum

$x = - \frac{5 + \sqrt{601}}{12}$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = - \frac{5 - \sqrt{601}}{12}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11