Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- x^{- 1} + C - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- x^{- 1} + C - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 8.2

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 8.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{- 4} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Schritt 10.1.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{x} - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Schritt 10.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$