Analysis Beispiele

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$ , $(- 1, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + 2 x$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y') - 2 y + 2 x$

Schritt 1.2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' - 2 y + 2 x$

Schritt 1.2.5.3

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y$

Schritt 1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' + 2 x - 2 y = - 2 y^{2} x$

Schritt 1.5.1.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' - 2 y = - 2 y^{2} x - 2 x$

Schritt 1.5.1.3

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $2 x y'$ aus $2 x^{2} y y' - 2 x y'$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $2 x y'$ aus $2 x^{2} y y'$ heraus.

$2 x y' (x y) - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $2 x y'$ aus $- 2 x y'$ heraus.

$2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $2 x y'$ aus $2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1$ heraus.

$2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ durch $2 x (x y - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ durch $2 x (x y - 1)$ .

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x y - 1$ .

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Schritt 1.5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (x y - 1)$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (x y - 1)$ heraus.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.3.3.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.3

Um $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x y - 1) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.3.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{(x y - 1) x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.4.2

Stelle die Faktoren von $(x y - 1) x$ um.

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{x (x y - 1)} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x + y}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.3.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{- y^{2} x - 1 x + y}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.6.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y' = \frac{- y^{2} x - x + y}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.5.3.3.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{2} x) - x + y}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{2} x) - (x) + y}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2} x) - (x)$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) + y}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) - 1 (- y)}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2} x + x) - 1 (- y)$ heraus.

$y' = \frac{- (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.7.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.3.3.7.6.1

Schreibe $- (y^{2} x + x - y)$ als $- 1 (y^{2} x + x - y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.5.3.3.7.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = - 1$ und $y = 0$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$- \frac{y^{2} (- 1) - 1 - y}{(- 1) ((- 1) \cdot y - 1)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $0$ .

$- \frac{{(0)}^{2} (- 1) - 1 - (0)}{(- 1) ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{0 \cdot - 1 - 1 - (0)}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$- \frac{0 - 1 - (0)}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

Schritt 1.7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{0 - 1 + 0}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

Schritt 1.7.3.4

Addiere $0 - 1$ und $0$ .

$- \frac{0 - 1}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

Schritt 1.7.3.5

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{- 1}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{- 1}{- 1 (0 - 1)}$

Schritt 1.7.4.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{- 1}{- 1 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{- 1}{1}$

Schritt 1.7.5.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- - 1$

Schritt 1.7.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $1$ und einen gegebenen Punkt $(- 1, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = 1 \cdot (x - (- 1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$y = x + 1$

Schritt 3