Analysis Beispiele

$\int 4 x (5^{x^{2}}) d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x \cdot (5^{x^{2}}) d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int 5^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $5^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{5^{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int 5^{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} \int 5^{u} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 5^{u} d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 5^{u} d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 5^{u} d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int 5^{u} d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int 5^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $5^{u}$ nach $u$ ist $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C)$ als $2 \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$ um.

$2 \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Schritt 7.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot 5^{u} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot 5^{x^{2}} + C$