Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{2} | x^{2} - 4 | d x$

Schritt 1

Teile das Integral auf in Abhängigkeit davon, ob $x^{2} - 4$ positiv oder negativ ist.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 4 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $- 2$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Schritt 7.2

Berechne $4 x$ bei $2$ und $- 2$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Schritt 7.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Schritt 7.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Schritt 7.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{8 + 8}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Schritt 7.3.7

Addiere $8$ und $8$ .

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Schritt 7.3.8

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 - 4 \cdot - 2$

Schritt 7.3.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 + 8$

Schritt 7.3.10

Addiere $8$ und $8$ .

$- \frac{16}{3} + 16$

Schritt 7.3.11

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.3.12

Kombiniere $16$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Schritt 7.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 16 + 16 \cdot 3}{3}$

Schritt 7.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.14.1

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$\frac{- 16 + 48}{3}$

Schritt 7.3.14.2

Addiere $- 16$ und $48$ .

$\frac{32}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{32}{3}$

Dezimalform:

$10.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$10 \frac{2}{3}$

Schritt 9