Analysis Beispiele

$y = \sqrt{x}$ , $(4, 2)$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$\frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 10.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 10.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 10.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 10.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2^{1 + 1}}$

Schritt 10.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2^{2}}$

Schritt 10.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4}$