Analysis Beispiele

$\int_{- 3}^{4} [y - (y^{2} - 12)] d y$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 3}^{4} y - (y^{2} - 12) d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 3}^{4} y d y + \int_{- 3}^{4} - (y^{2} - 12) d y$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - (y^{2} - 12) d y$

Schritt 4

Multipliziere $- (y^{2} - 12)$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - y^{2} - - 12 d y$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - y^{2} + 12 d y$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - y^{2} d y + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - \int_{- 3}^{4} y^{2} d y + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4}) + 12 y]_{- 3}^{4}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4}$ und $12 y]_{- 3}^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 12 y]_{- 3}^{4} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Schritt 11.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Berechne $\frac{1}{2} y^{2} + 12 y$ bei $4$ und $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Schritt 11.2.2

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $4$ und $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3

Vereinfache.

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Schritt 11.2.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $16$ .

$\frac{16}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 11.2.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.3.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$8 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.4

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$8 + 48 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.5

Addiere $8$ und $48$ .

$56 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.6

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$56 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$56 - (\frac{9}{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.8

Mutltipliziere $12$ mit $- 3$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.9

Um $- 36$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.10

Kombiniere $- 36$ und $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$56 - \frac{9 - 36 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.3.12.1

Mutltipliziere $- 36$ mit $2$ .

$56 - \frac{9 - 72}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.12.2

Subtrahiere $72$ von $9$ .

$56 - \frac{- 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$56 - - \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$56 + 1 (\frac{63}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.15

Mutltipliziere $\frac{63}{2}$ mit $1$ .

$56 + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.16

Um $56$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$56 \cdot \frac{2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.17

Kombiniere $56$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{56 \cdot 2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{56 \cdot 2 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.3.19.1

Mutltipliziere $56$ mit $2$ .

$\frac{112 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.19.2

Addiere $112$ und $63$ .

$\frac{175}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.20

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Schritt 11.2.3.21

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 27}{3})$

Schritt 11.2.3.22

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $3$ .

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Schritt 11.2.3.22.1

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Schritt 11.2.3.22.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.22.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Schritt 11.2.3.22.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Schritt 11.2.3.22.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 9}{1})$

Schritt 11.2.3.22.2.4

Dividiere $- 9$ durch $1$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - - 9)$

Schritt 11.2.3.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9)$

Schritt 11.2.3.24

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 11.2.3.25

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

Schritt 11.2.3.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 9 \cdot 3}{3}$

Schritt 11.2.3.27

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.3.27.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 27}{3}$

Schritt 11.2.3.27.2

Addiere $64$ und $27$ .

$\frac{175}{2} - \frac{91}{3}$

Schritt 11.2.3.28

Um $\frac{175}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3}$

Schritt 11.2.3.29

Um $- \frac{91}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 11.2.3.30

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.2.3.30.1

Mutltipliziere $\frac{175}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 11.2.3.30.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 11.2.3.30.3

Mutltipliziere $\frac{91}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.30.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{6}$

Schritt 11.2.3.31

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{175 \cdot 3 - 91 \cdot 2}{6}$

Schritt 11.2.3.32

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.3.32.1

Mutltipliziere $175$ mit $3$ .

$\frac{525 - 91 \cdot 2}{6}$

Schritt 11.2.3.32.2

Mutltipliziere $- 91$ mit $2$ .

$\frac{525 - 182}{6}$

Schritt 11.2.3.32.3

Subtrahiere $182$ von $525$ .

$\frac{343}{6}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{343}{6}$

Dezimalform:

$57.1\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$57 \frac{1}{6}$

Schritt 13